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欧博开户网址(www.aLLbetgame.us):物理学的最终问题,正守候数学往返覆|返朴

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导读

人们为明白量子场论中的数学而做出的加倍起劲,将同时对数学和物理发生深远的影响。

量子场论是现在我们形貌微观天下的基本语言,形貌所有基本粒子的尺度模子就是用量子场论写出来的。然则量子场论有一个很严重的问题――它甚至还不是一个数学上自洽的理论。这是由于有相互作用的量子场论,现在是通过微扰级数睁开来形貌的。尴尬的是,这一级数睁开基本就不收敛。在尺度模子中,若是只取级数睁开的前几项,尺度模子会给出与实验异常靠近的效果;但睁开项越多,尺度模子的效果就与实验差距越大,甚至会趋近于无限大(参见《文小刚:尺度模子还不是一个自洽的理论+温伯格演讲丨众妙之门》)。以是这样界说的量子场论并不自洽,也反映出我们对尺度模子没有基本的明白。理论物理、数学物理的先驱一直想给量子场论一个更坚硬的基础,找到一个非微扰的数学界说,是今天甚至后面几代数学家和物理学家有待解决的问题。

――文小刚

撰文 | Kevin Hartnett

编译 | 刘航

人们为明白量子场论中的数学而做出的加倍起劲,将同时对数学和物理发生深远的影响。

在已往的一个世纪里,量子场论(Quantum Field Theory,QFT)已经被证实是有史以来最周全、最乐成的物理学理论。它是一个涵盖了许多详细量子场理论的术语――就像“形状”的看法内里涵盖了正方形、圆形等详细图形。这些理论中最著名的被称为尺度模子(Standard Model),正是这种物理学框架取得了云云的乐成。

“它可以从基本上注释我们做过的每一个实验。”剑桥大学的物理学家大卫・汤(David Tong) 说。

然而,一个无可争辩的事实是,量子场论是不完整的。物理学家和数学家都不知道到底是什么让量子场论成为了量子场论。他们望见了全貌,却无法完全明白。

普林斯顿高等研究院的物理学家内森・塞伯格(Nathan Seiberg)示意:“种种迹象解释,我们可能有更好的方式来明白量子场论。正如管中窥豹,还看不到真正的全貌。”

数学,可能是使量子场论完整的语言;由于数学必须知足其内在的一致性,而且注重每一个细节。若是数学能够学会像形貌完善的数学工具那样,同样严酷地形貌量子场论,那么一个加倍完整的物理天下图景可能就会随之而来。

“若是你真的能以适当的数学方式明白了量子场论,那么现在许多开放性的物理问题就有谜底了,甚至可能包罗引力的量子化。”普林斯顿高等研究院的主任罗伯特・戴克格拉夫(Robert Dijkgraaf)说道。

已往的几个世纪里,物理学中使用的所有其他数学头脑都在数学中都有其自然的职位。但量子场论除外。

――内森・塞伯格,普林斯顿高等研究院教授

固然,这也不是一条单行道。千百年来,物理天下一直是数学生长的最伟大的灵感源泉。古希腊人发现晰三角学来研究恒星的运动,而数学把它酿成了一门有界说和规则的学科,今天的学生学习时不必领会其天文学起源。又过了近2000年,当牛顿想要明白开普勒的行星运动定律时,并试图找到一种严酷的方式来思索无限小的转变,这种感动(以及莱布尼茨的启示)催生了微积分的降生。然后数学把它拿了已往并改善――现在微积分已经无处不在。

现在,对于量子场论,数学家们想做同样的事情――将物理学家为研究基本粒子而生长的头脑、工具和手艺纳入数学的主体。这意味着我们要界说好量子场论的基本特征,这样未来数学家就不必思量理论最初泛起时的物理靠山。

这样做的回报很可能是伟大的。当我们发现新的研究工具和新的结构,捕捉到数字、方程和形状之间某些最主要的关系时,数学就会生长。而这些都可以由量子场论来提供。

德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家大卫・本-兹维(David Ben-Zvi)说,“物理学作为一种组织,自己是异常深刻的,而且往往会提供更好的方式让我们思索感兴趣的数学问题。物理学正好是一种很好的形式。”

至少已往40年来,量子场论一直诱惑着有想法的数学家去探索其内在。而近年来,他们终于最先明白量子场论自己的一些基本工具――将它们从粒子物理学的天下中抽象出来并转化为数学工具。

不外,现在数学家的起劲还处于起步阶段。

“我们不能预奏效果,但显然我期望我们现在看到的只是冰山一角。若是数学家真的弄清晰了量子场论,那么将给数学领域带来伟大的提高。”罗格斯大学物理学家格雷格・摩尔(Greg Moore)如是说。

永恒的场

人们通常以为宇宙是由基本粒子组成的,包罗电子、夸克、光子等等,但物理学在良久以前就逾越了这一看法。现在物理学家谈论的不再是粒子,而是粒子所对应的“量子场”,它们才是真实物理天下中的经纬线。

种类繁多的场充满了整个宇宙时空,像升沉的海洋一样颠簸。随着场发生涟漪并相互作用,粒子从场中泛起,然后又在场中消逝,就像转瞬即逝的波峰。

“粒子不是永远存在的实体。”汤说,“它是场的舞动。”

要明白量子场,最简朴的方式就是从通俗的场或者说经典场出发。好比,你想丈量地球外面每一点的温度,那么你可以将无限多个要丈量的点连系起来,形成一个包罗了所有温度信息的几何工具,这个几何工具即为场。

一样平常来说,只要你有一些参量,它们可以在空间中以无限细腻剖析且唯一丈量,场就会泛起。加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的物理学家戴维・盖奥托(Davide Gaiotto)谈道,“在某种水平上,你可以对时空的每个点提出自力的问题,好比这里和那里的电场各是什么。”

当你考察量子征象时,量子场就泛起了,好比时空中电子的能量。但量子场与经典场有本质的差异。

地球上某一点的温度是个经典的量,不管你是否丈量,它就在那里。而对于电子的位置,只有在你观察的那一刻它们才有确定的位置。在此之前,它们的位置只能用概率来形貌――量子场中的每个点被赋予概率值,以此来形貌你在那里找到电子的可能性。在观察之前,你可以以为电子不在任何地方,也可以以为电子无处不在。

“物理学中的大多数事物不只是物体; 它们是存在于空间和时间中每个点的某种器械。”戴克格拉夫说。

量子场论提出了一系列被称为关联函数的方式,用来形貌场中某一点观丈量与另一点观丈量之间的关联。

差其余量子场论会以特定的维度来形貌物理。二维量子场论通常用于形貌质料的行为,如绝缘体;六维量子场论与弦理论慎密相关;四维量子场论形貌了我们现实四维宇宙中的物理,尺度模子正是其中之一,也是最主要的量子场论。由于它是现在最适合形貌宇宙的理论。

已知的12种基本粒子组成了我们的宇宙,每种粒子都对应于一个怪异的量子场。在这12个粒子场的基础上,尺度模子又增添了四个力场,代表了四种基真相互作用: 引力、电磁力、强核力和弱核力。尺度模子将这16个场融合到一个方程中,形貌了它们之间是若何相互作用的。通过这些相互作用,基本粒子被明白为它们各自量子场的涨落,这样,整个物理天下就出现在我们眼前了。

这听起来可能很新鲜,但物理学家在上世纪30年月才意识到,物理学是基于场的,而不是粒子。他们用场的看法解决了一些最紧迫的矛盾:因果性以及粒子不会永远存在等问题。它还注释了物理天下中原本看似不能能的一致性问题。

“宇宙中所有相同类型的粒子都是一样的。”汤说,“若是我们用大型强子对撞机(Large Hadron Collider)制造一个新的质子,它与一个已经运动了100亿年的质子一模一样。这需要一些注释。”量子场论给出了这样的注释:所有的质子都是统一个基础质子场(或者更进一步,基础夸克场)中的颠簸。

然则,量子场论的注释能力是以极高深的数学为价值换来的。

汤示意,“量子场论是迄今为止数学中最庞大的工具,以至于数学家们尚不知若何明白它们。量子场论是数学家尚未发现的数学。”

无限太多了

是什么让数学家以为云云庞大呢?两个字:无限。

当你在某一点观丈量子场时,得出的效果并不是像坐标或温度那样的几个数字,而是一个矩阵――一组数字阵列。而且它还不是一个通俗的矩阵,它无限大,是一个有无限多行和无限多列的矩阵,也被称为算符。这也反映了量子场是若何笼罩了粒子从场中泛起的所有可能性。

“一个粒子可以有无限多个位置,这就一定要求形貌位置和动量丈量的矩阵也必须是无限维的。”约克大学的卡西亚・雷兹纳(Kasia Rejzner)说。

当理论中泛起无限时,问题就来了:它与物理上的相关性作何注释?由于无限是作为一种看法而存在,而不是任何实验可以丈量的物理量。这也使其理论难以用数学方式来处置。

“我们并不喜欢一个形貌无限的理论框架。这就是为什么你最先意识到需要对此有更好的数学明白。”阿姆斯特丹大学的物理学家亚历杭德拉・卡斯特罗(Alejandra Castro)说道。

当物理学家最先思索两个量子场若何相互作用时,无限大的问题变得更糟了。例如,在日内瓦田野的大型强子对撞机上模拟粒子碰撞。在经典力学中,这类盘算很容易:要模拟两个台球碰撞时会发生什么,只需指定每个球在碰撞点的动量即可。

现在换成两个量子场相互作用,你也会想做类似的事情:在它们相遇的时空点上,将一个场的无限维算符乘以另一个场的无限维算符。显然,这种盘算――将两个无限维的工具在它们靠的无限近时相乘――是很难题的。

“这就是发生严重错误的地方。”雷兹纳说。

了不起的乐成

物理学家和数学家不能使用无限大肆行盘算,然则他们已经生长了一些变通的应对之措――用近似的方式往返避这个问题。物理学家用近似的方式做出了一些展望,效果显示和实验异常吻合,事实实验也不是无限准确的。

“我们的实验丈量可以准确到小数点后13位,理论近似的效果与实验丈量惊人的一致。这是所有科学中最令人惊讶的事情。”汤说。

其中一种方式,是想象有一个无相互作用的量子场,即“自由”理论――不必忧郁有无限维矩阵相乘的问题。由于这种情形下既没有运动,也没有碰撞,很容易用完整的数学细节来形貌,只是这种形貌没有太大价值。

雷兹纳以为,“这确实没什么意思,由于它形貌的是一个伶仃的场,没有任何互动。以是它仅仅是学术上的实验。”

不外,你可以让它更有趣一些。物理学家在内里加入了一点相互作用,且试图用数学方式来控制相互作用的强弱,从而使理论顺应差其余情形。

这种方式被称为微扰量子场论,示意在自由场中允许有细小的转变或扰动。你可以将微扰头脑应用于类似自由理论的量子场论里,它对于验证实验也异常有用。“你会获得惊人的准确度,惊人的实验一致性。”雷兹纳说。

但若是相互作用不停增强,微扰的方式最终会失效。相互作用逐渐变大时,微扰论的效果变得越来越不准确,也就离真实的物理越来越远。这解释,虽然微扰论的方式对实验有一定指导意义,但它终究不能完全准确地形貌整个宇宙――它在现实中有用,但在理论上是不坚实的。

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“我们还不知道若何把所有的情形都思量进来,也不知道怎么才气得出合理的结论。”盖奥托谈道。

我们一直将量子场论作为一种外部 *** ,但若是它是一种内在 *** 就好了。

――丹・弗里德,德克萨斯大学奥斯汀分校教授

另一种近似方案试图通过其他方式,逐渐靠近真实天下的量子场理论。理论上,量子场包罗无限细腻的信息。为了构建这样的场,物理学家从网格或晶格出发,并将场界说在晶格线及相互交织的地方(费米子界说在格点上,规范场界说在链接上)。最初你只能在分立的格点上举行丈量,而不能随意对量子场做延续的丈量。

往后,物理学家不停提高格子的细腻水平,使其细腻水平的上限不停提高。随着格子变得越来越细密,可丈量点的数目不停增添,越来越靠近一个可以四处丈量的场的理想看法。

“当点之间的距离变得异常小,这样就异常靠近一个延续的场。”塞伯格说。用数学上的专业术语来说,他们所说的延续量子场实在是细腻晶格的极限。

数学家们善于处置极限,而且知道若何确定某些极限是否存在。例如,他们已经证实晰无限数列1/2+1/4+1/8+1/16…的极限是1。物理学家想要证实量子场是这种晶格历程的极限,只是现在他们还不知道该怎么做。

摩尔示意,“现在我们还不清晰若何盘算这个极限,以及它在数学上意味着什么。”

物理学家并不嫌疑不停细腻的格点正朝着理想化量子场的看法生长。量子场论的展望和实验效果之间的高度吻合有力地说明晰这一点。

赛博格说,“毫无疑问,这些极限是确实存在的,由于量子场论已经取得了极大的乐成。”然则,有强有力的证据示意某事是准确的,和最终证实它是准确的,完全是两码事。

量子场论盼望取代其他伟大的物理理论,而这种不准确正在拖量子场论的后腿。牛顿的运动定律、量子力学、爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论――它们都只是量子场论想要讲述的更伟大故事的一部门。但与量子场论差其余是,它们都可以用准确的数学语言写下来。

“量子场论是作为一种形貌所有物理征象的通用语言而泛起的,但它在数学上却没有完善的界说。”戴克格拉夫谈道。对一些物理学家来说,这就是暂停脚步的缘故原由。

戴克格拉夫说,“若是整个理论都依赖于某个焦点看法,而这个看法自己并不能用数学的方式来明白,那你怎么能云云确信它能形貌整个天下?这使整个问题加倍尖锐。”

外部推动

纵然在这种不完整的状态下,量子场论也促成了许多主要的数学发现。两者的交互通常是这种模式:物理学家使用量子场论举行盘算时,有时发现了令人惊讶的效果,然后数学家试图对其举行注释。

“这(量子场论)就是一台创意机械。”汤说。

在一个基本层面上,物理征象与几何有着亲热的关系。举个简朴的例子,若是你让一个小球在一个滑腻的外面上运动,它的轨迹就是沿着随便两点之间的最短路径,也就是所谓的测地线。用这种方式,物理征象可以探测出一个形状的几何特征。

现在,我们把小球换成一个电子。电子以概率的形式可以存在于外面上随便一点。通过研究那些概率所对应的量子场,你可以领会这块外面的总体性子(数学家称之为流形),好比它有若干个洞。这是研究几何学和相关拓扑学领域的数学家想要回覆的一个基本问题。

“即便一个粒子纵然呆在原地不动,我们也会知道流形的拓扑结构。”汤说。

上世纪70年月后期,物理学家和数学家最先应用这种看法来解决几何中的基本问题。到90年月初,塞伯格和他的互助者爱德华・威滕(Edward Witten)提出了若何用这种头脑来缔造一种新的数学工具――Seiberg-Witten稳固量――将量子征象转化为一个指数,其反映了形状的纯数学特征: 通过盘算量子粒子以某种方式泛起的次数,你就能有用地皮算出一个形状中洞的数目。

“威滕解释晰量子场论能给几何问题提供完全意想不到却又极其准确的洞见,使棘手的问题变得可解。”牛津大学的数学家雷姆・西格尔(Graeme Segal)示意。

另一个数学与物理相互融通的例子也发生在20世纪90年月初,那时物理学家正在举行与弦理论有关的盘算。他们凭证完全差其余数学规则在两个差其余几何空间中举行运算,效果总是得出一长串却相互完全匹配的数字。数学家们从这个线索出发,仔细研究后生长出一个全新的研究领域――镜像对称。数学家研究出它们为何云云吻合,还发现了许多类似的征象。

“物理学会提出这些惊人的展望,数学家则会实验用自己的方式来证实它们。”本-兹维说,“这些展望既新鲜又巧妙,可是效果证实,它们险些总是准确的。”

只管量子场论乐成地为数学缔造了可寻的线索,但其焦颔首脑仍然险些完全存在于数学之外。与多项式、群、流形等其他起源于物理学而且现在已被熟练应用的方式相比,量子场论仍然没有被数学家们明白得足够好。

对物理学家来说,这种与数学的疏远关系解释,对于量子场论,另有许多器械需要深入明白。塞伯格说:“已往的几个世纪里,物理学中使用的所有其他数学头脑都在数学中都有其自然的职位。但量子场论除外。”

我想说,物理学家纷歧定洞悉一切,但物理学可以。

――大卫・本-兹维,德克萨斯大学奥斯汀分校教授

而对于数学家来说,似乎量子场论和数学之间的关系应该比偶然的互动更为深刻。这是由于量子场论包罗了许多对称或基本结构,这些结构决议了场中差异部门的点若何相互关联。这些对称性具有物理意义――它们体现了诸如能量等守恒量是若何随着量子场的演化仍保持守恒的。另一方面,在数学上它们自己也是很有趣的研究工具。

卡斯特罗示意,“数学家可能体贴某种对称性,我们可以把它放在物理靠山中。云云一来,两个领域之间就搭起了一座优美的桥梁。”

从差异类型方程的解到素数漫衍,数学家险些对所有问题都使用了对称性和几何学来研究。通常,几何编织出了数字问题的谜底。而量子场论为数学家们提供了全新的且厚实多彩的几何工具――若是数学家能直接运用它,也许他们能做的超乎想象。

“从某种角度上来说,我们只是在摆弄量子场论。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家丹・弗里德(Dan Freed)说,“我们一直将量子场论作为一种外部 *** ,但若是它是一种内在 *** 就好了。”

为量子场论铺路

数学不会容易接纳新的工具。许多基本看法都是经由了长时间的磨练,才在数学领域中找到了准确且严酷规范的位置。

好比实数――示意数轴上无限多个刻度的所有。这一看法在数学上现实使用了近2000年,数学家才在界说它的方式上杀青一致。终于在19世纪50年月,数学家们确定了一个准确的陈述,只用三个词语表达,即“完整、有序、域(complete ordered field)”。它们是完整的,由于实数没有任何间隙;它们是有序的,由于总有一种方式来确定一个实数是否大于或小于另一个实数;它们形成了一个“域”,这对数学家来说意味着它们遵照算术规则。“从历史上看,这三个词来之不易。”弗里德说。

为了使量子场论酿成内在 *** ――成为一种数学家可以为自己研究所使用的工具――数学家想对量子场论举行与他们对实数相同的处置:找出一个清晰的特征列表,任何特定的量子场论都需要知足内里的要求。

爱尔兰数学家凯文・科斯特洛

加拿大圆周研究所的数学家凯文・科斯特洛(Kevin Costello)做了大量关于将量子场论转化到数学上的事情。2016年,他与人合著了一本教科书(Factorization Algebras in Quantum Field Theory: Volume 1),他们将微扰量子场论确立在坚实的数学基础上,包罗若何形式化地处置随着相互作用增添而泛起的无 *** 。这是继早期2000年月的代数目子场论后的又一实验,代数目子场论也追求类似的目的,雷兹纳在他也是于2016年出书的书(Perturbative Algebraic Quantum Field Theory)中回首了这项研究。虽然现在的微扰量子场论仍然不能真正形貌宇宙,但数学家们知道若那边理它发生的物理上无意义的无限大。

摩尔示意,“科斯特洛的孝顺是异常巧妙和有见识的。他把(微扰)理论置于一个适用于严酷数学的漂亮的新框架中。”

科斯特洛注释说,他写这本书的目的是想让微扰量子场论加倍连贯。“我发现有些物理学家使用的方式是不能论证的,而且只针对特定的情形。我想要使其理论更自洽,让数学家可以更好地研究它。”

通过准确地说明微扰理论的事情原理,科斯特洛缔造了一个基础理论框架。在此基础上,物理学家和数学家可以构建知足要求的新量子场论。这个理论很快就被该领域学者所接受。

“一定会有许多年轻人实验这个框架。他的书已经发生了极大的影响。”弗里德说。

科斯特洛也一直致力于界说什么是量子场论。在简化形式下,量子场论需要一个几何空间,在这个空间中你可以对每一点举行观察,并连系关联函数来形貌差异点间的观丈量若何相互关联。科斯特洛的事情形貌了一组关联函数需要具备的性子,以便为量子场论提供一个可行的基础。

我们最熟悉的量子场论,好比尺度模子,可能包罗了一些不是所有量子场论都具备的分外特征。没有这些特征的量子场论可能形貌了其他尚未被发现的特征,而这些特征可以辅助物理学家注释尺度模子无法注释的物理征象。若是你对量子场论的想法只停留在我们已知的版本,你甚至很难想象其他需要的可能性。

盖奥托比喻道:“在一个伟大的灯柱下,你可以找加入的理论,好比尺度模子,而在它周围是一大片量子场论的漆黑区域。我们不知道它若何界说,但我们确定它就在那里。”

科斯特洛用他对量子场的界说照亮了其中一部门漆黑空间。从这些界说出发,他发现了两个令人惊讶的新型量子场理论。虽然它们都不是形貌我们的四维宇宙的,但它们确实都知足几何空间里关联函数的焦点要求。这是纯粹的头脑效果,类似于你在物质天下中发现了一类全新的形状,一旦你对它们有了一样平常界说,你就可以思索与实物毫无关系的例子。

若是数学可以确定量子场论的所有可能性,而且是知足一样平常界说(包罗关联函数)的所有差其余可能性,物理学家就可以从中找到谁人能注释他们最为体贴的物理问题的详细理论。

“我想知道所有量子场论的空间,由于我想知道量子引力是什么。” 卡斯特罗说道。

接力挑战

显然,起劲刚刚最先。迄今为止,所有用完整数学形貌的量子场论都依赖于种种简化,这使得它们在数学上更容易处置。

研究更简朴的二维量子场论取代四维量子场论,是简化问题的一种方式,这项事情可以追溯到几十年前。最近,法国的一个研究小组确定了这个著名的二维量子场论的所有数学细节。

有一些简化方式是假设量子场是对称的,可是这不相符物理现实。但从数学的角度,这使它们更容易处置,例如“超对称”量子场论和“拓扑”量子场论。

接下来,也是更难题的一步,就是移除“手杖”――为物理学家最想形貌的真实物理天下的量子场论提供完整的数学形貌:一个四维延续的宇宙,在这个宇宙中,所有相互作用都可能同时发生。

“对照尴尬的是,我们没有一个四维时空的非微扰量子场论。”雷兹纳谈道,“这是个难题,显然需要一两代数学家和物理学家才气解决。”

但这并不故障数学家和物理学家的渴求。对于数学家来说,量子场论是他们所希望研究的那类最为厚实的工具。要界说量子场论所共有的特征,险些一定需要合并数学的两大支柱――剖析和几何。前者来注释若何控制无限大;后者则提供讨论对称性的语言。

“就数学自己而言,这是一个令人着迷的问题,由于它连系了两个伟大的头脑。”戴克格拉夫说。

若是某天数学家们能够明白量子场论了,那么与其相关的数学发现将是不能估量的。良久以前,数学家界说的一些工具的特征属性,好比流形和群,现在险些渗透到数学的每个角落。当它们最初被界说时,数学家是不能能预见所有功效的。量子场论也是云云。

“我想说,物理学家纷歧定洞悉一切,但物理学可以。”本-兹维说,“若是你提出了准确的问题,那可能已经有数学家在寻找谜底了。”

对于物理学家来说,量子场论的完整数学形貌也是他们领域最主要目的的另一面――对物理现实的完整形貌。

塞伯格说:“我以为有一种知识结构可以涵盖所有这些,也许它将涵盖所有的物理。”

现在就等数学家们把它挖掘出来。

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